Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求在上的单调区间；

（Ⅲ）当时，证明：在上存在最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递减区间为,单调递增区间为；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得直线方程，（Ⅱ）先求导函数在区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，即得单调区间，（Ⅲ）利用导数研究导函数零点情况，再根据导函数零点确定函数单调性，最后根据单调性确定函数最值.

（Ⅰ）因为，所以

则，，所以切线方程为

（Ⅱ）令，即，，得

当变化时，变化如下：

		0
	减	最小值	增

所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为

（Ⅲ）因为，所以

令，则

因为，所以

所以即在内有唯一解

当时，，当时，，

所以在上单调递减,在上单调递增.

所以，又因为

所以在内有唯一零点

当时，即，

当时，即，

所以在上单调递减,在上单调递增.

所以函数在处取得最小值

即时，函数在上存在最小值