Question

【题目】已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数．

（Ⅰ）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；

（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；

（Ⅲ）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）见详解；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）假设是等比数列，根据和建立等式，若无解，说明假设不成立；（Ⅱ）根据和求出和的关系，再根据等比数列的定义证明；（Ⅲ）时，成立；，根据等比数列的求和公式解不等式.

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，

即，矛盾．

所以不是等比数列．

（Ⅱ）证明：

.

又．由上式知，

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）得，

于是，

当时，，从而．上式仍成立.

要使对任意正整数，都有.

即.

令，则

当为正奇数时，：当为正偶数时，，

的最大值为.

于是可得.

综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有；

的取值范围为.