Question

如图，已知椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n为实数），求m+n的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求B、C的坐标，再利用四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和，即可得到结论；
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论：①AP平行与BC；②AB平行于CP，则k_AB=k_CP，求出直线CP的方程，与椭圆方程联立，即可求得P的坐标；
（3）设P（x，y），根据

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n为实数），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，进而可得m+n，利用三角换元，可求m+n的最大值．

解答：解：（1）将y=-4代入椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四边形ABCP的面积为三角形与梯形面积的和
∴S_{四边形ABCP}=

6×(4+5)

2

+

6×(8+9)

2

=78
（2）因为ABCP为梯形分情况讨论
①AP平行与BC，则y=5与A重合，所以舍；
②AB平行于CP，则k_AB=

5-(-4)

0-(-6)

=

3

2

=k_CP，
设直线CP的方程为y=

3

2

x+C，代入（6，-4）可得C=-13
∴直线CP的方程为y=

3

2

x-13，
与椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1，联立消元可得5x²-78x+288=0
∴x=6或

48

5

代入直线CP的方程为y=

3

2

x-13，可得y=-4或

7

5

∴P（

48

5

，

7

5

）；
（3）设P（x，y），∵

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n为实数），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=

1

9

y+

4

9

，n=

1

12

x-

y

18

+

5

18

∴m+n=

3x-2y+26

36

令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=

5

6

cosθ-

5

18

sinθ+

13

18

=

5 10

18

cos（θ+α）+

13

18

，所以最大值为

5 10

18

+

13

18

，
∴m+n的最大值为

5 10

18

+

13

18

．

点评：本题考查四边形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系，属于中档题．