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    5．设a＞0，且a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}+1}{a+{a}^{-1}+1}$的值．

    分析 利用完全平方和公式可得a+a-1=（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）2-2=9-2=7，a2+a-2=（a+a-1）2-2=49-2=47，从而解得．

    解答 解：∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
    ∴a+a-1=（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）2-2=9-2=7，
    a2+a-2=（a+a-1）2-2=49-2=47，
    ∴$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}+1}{a+{a}^{-1}+1}$=$\frac{47+1}{7+1}$=6．

    点评 本题考查了完全平方和公式的应用及幂的运算．

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