Question

16．已知函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{x}，0≤x≤1}\\{1+x，x＞1}\end{array}\right.$，求f（$\frac{1}{2}$）及f（$\frac{1}{t}$），并写出定义域及值域．

Answer 1

分析 代值计算可得f（$\frac{1}{2}$），分类讨论可得f（$\frac{1}{t}$），易得函数的定义域，分别求值域取并集可得函数的值域．

解答 解：∵函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{x}，0≤x≤1}\\{1+x，x＞1}\end{array}\right.$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
当0＜$\frac{1}{t}$≤1即t≥1时，f（$\frac{1}{t}$）=2$\sqrt{\frac{1}{t}}$=$\frac{2\sqrt{t}}{t}$；
当$\frac{1}{t}$＞1即0＜t＜1时，f（$\frac{1}{t}$）=1+$\frac{1}{t}$．
函数的定义域为[0，+∞），
∵当0≤x≤1时，y=2$\sqrt{x}$∈[0，2]；
当x＞1时，y=1+x＞2
∴函数的值域为[0，+∞）

点评 本题考查分段函数的值域，涉及分类讨论的思想，属基础题．