Question

【题目】如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案。

解：（Ⅰ）取的中点为，连结.

由是三棱台得，平面平面，从而.

∵，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵，为的中点，

∴，∴.

∵平面平面，且交线为，平面，

∴平面，而平面，

∴.

（Ⅱ）连结.

由是正三角形，且为中点，则.

由（Ⅰ）知，平面，，

∴，，

∴，，两两垂直.

以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

∴，，.

设平面的一个法向量为.

由可得，.

令，则，，∴.

设与平面所成角为，则.