Question

已知集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}．
（1）若B={y|y²+3y+2=0}且A∪B=B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩(-∞，

1

2

]=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵B={y|y²+3y+2=0}={-1，-2}且A∪B=B，
故A⊆B={-1，-2}
当△=（a+2）²-4＜0时，即-4＜a＜0时，A=φ，满足条件；
当△=（a+2）²-4=0时，即a=-4，此时A={1}，满足条件；或a=0时，A={-1}，不满足条件；
当△=（a+2）²-4＞0时，则A={-1，-2}，由韦达定理知x²+（a+2）x+1=0的两根之积为1，故不满足条件
综上，-4≤a＜0
即实数a的取值范围是[-4，0）
（2）若A∩(-∞，

1

2

]=∅，
当△=（a+2）²-4＜0时，即-4＜a＜0时，A=φ，满足条件；
当△=（a+2）²-4=0时，即a=-4，此时A={1}，满足条件；或a=0时，A={-1}，不满足条件；
当△=（a+2）²-4＞0时，方程两根均大于

1

2

时，满足条件，此时-（a+2）+1＞0且1-

1

2

（a+2）+

1

4

＞0
解得a＜-4
综上，a＜0
故实数a的取值范围为（-∞，0）