Question

已知tan(

π

4

+α)=

1

2

，求值：
（1）tanα；
（2）

sin2α-cos2α

1+cos2α

．

Answer 1

分析：（1）由题意tan(

π

4

+α)=

1

2

，可由正切的和角公式展开得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，由此方程解出tanα；
（2）由正弦与余弦的二倍角公式将

sin2α-cos2α

1+cos2α

这形为

2sinαcosα-cos2α

2cos2α

，再由同角三角关系，将其变为

2tanα-1

2

将正切值代入即可求出代数式的值．

解答：解：（1）由题意tan(

π

4

+α)=

1

2

，可得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，解得tanα=-

1

3

（2）

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

2cos2α

=

2tanα-1

2

由（1）tanα=-

1

3

，
∴

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2×(- 1 3 )-1

2

=-

5

6

点评：本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题