Question

已知复数z₁满足：|z₁|=1+3i-z₁．复数z₂满足：z₂•（1-i）+（3-2i）=4+i．
（1）求复数z₁，z₂；
（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z₁，z₂对应的点分别为A，B．求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（1）设z₁=x+yi（x，y∈R），由|z₁|=1+3i-z₁，得

x2+y2

=1+3i-(x+yi)=1-x+（3-y）i，根据复数相等即可得出；而z₂•（1-i）=1+3i，可化为z2=

1+3i

1-i

，再利用复数的运算法则即可得出；
（2）由（1）知，

OA

=(-4，3)，

OB

=(-1，2)，利用复数模的计算公式即可得出；再利用

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB，即可得出cos∠AOB，再利用平方关系即可得出sin∠AOB．再利用三角形面积计算公式即可．

解答：解：（1）设z₁=x+yi（x，y∈R），
由|z₁|=1+3i-z₁，得

x2+y2

=1+3i-(x+yi)=1-x+（3-y）i，
∴

1-x= x2+y2 3-y=0

，解得

x=-4 y=3

．
∴z₁=-4+3i．
而z₂•（1-i）=1+3i，
∴z2=

1+3i

1-i

=

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

-2+4i

2

=-1+2i，
（2）由（1）知，

OA

=(-4，3)，

OB

=(-1，2)，∴|

OA|

=

(-4)2+32

=5，|

OB

|=

(-1)2+22

=

5

．
由

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB，得（-4）×（-1）+3×2=5

5

cos∠AOB，
解得cos∠AOB=

2

5

，∴sin∠AOB=

1

5

．
∴△OAB的面积S=

1

2

×5×

5

×

1

5

=

5

2

．

点评：熟练掌握复数的运算法则、复数相等、数量积运算、三角形的面积计算公式等是解题的关键．