Question

已知复数z₁满足（3+4i）z₁=-1+7i，z₂=a-2-i，a∈R．
（1）若|z1+

.

z2

|＜2|z1|，求a的取值范围；
（2）若z1+

.

z2

是方程x²-2x+p=0（p∈R）的一个根，求a与p的值．

Answer 1

分析：（1）先求出z₁，再利用复数的模的定义根据|z1+

.

z2

|＜2|z1|，得到 

(a-1)2+4

＜2

2

，由此解得a的范围．
（2）由题意可得a-1+2i（a∈R）是方程 x²-2x+p=0（p∈R）的一个根，△=（-2）²-4p＜0，且a-1-2i（a∈R）也是
此方程的一个根，再利用韦达定理求出a与p的值．

解答：解：（1）因为z1=

-1+7i

3+4i

，所以z1=

(-1+7i)•(3-4i)

(3+4i)•(3-4i)

=1+i．…（1分）
于是 |z1+

.

z2

|=|1+i+a-2+i|=|a-1+2i|=

(a-1)2+4

，|z1|=

2

，…（3分）
又   |z1+

.

z2

|＜2|z1|，则   

(a-1)2+4

＜2

2

，解得-1＜a＜3．
因此，所求的a的取值范围为（-1，3）．…（5分）
（2）由（1）知  z₁=1+i，则z1+

.

z2

=a-1+2i．
所以a-1+2i（a∈R）是方程 x²-2x+p=0（p∈R）的一个根，
则△=（-2）²-4p＜0，且a-1-2i（a∈R）也是此方程的一个根．…（8分）
于是     

△=(-2)2-4p＜0 (a-1+2i)+(a-1-2i)=2 (a-1+2i)•(a-1-2i)=p.

，解得  

a=2 p=5.

，
因此，a=2，p=5．…（10分）

点评：本题考查两个复数代数形式的除法，复数求模的方法以及韦达定理的应用，属于中档题．