Question

已知复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），其中i为虚数单位．
（1）求z₁
（2）若z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求实数p、q的值．
（3）若 | z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式即可得到z₁．
（2）若z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，求出另一个根，利用韦达定理即可求实数p、q的值．
（3）求出|z1-

.

z2

|的模，利用 | z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，得到a的关系式，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）因为复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，
所以z1=

1+3i

1-i

=

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=-1+2i…（3分）
（2））z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，实系数方程虚根成对，
由韦达定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3）z1-

.

z2

 =(-1+2i) -(a+i) =-1-a+i…（8分）
由| z1-

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）

点评：本题是中档题，考查复数的基本运算，复数模的求法，复数方程的应用，考查计算能力．