Question

已知（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

3-2n

2

a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，可得

1

3

=a1，解得a=

1

3

．由于等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，可得a₁，a₂，a₃．利用

a

2 2

=a1a3，解得c=1．即可得出a_n．
（2）b_n=

3-2n

2

a_n=（2n-3）×

1

3n

．l利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）∵（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
∴

1

3

=a1，解得a=

1

3

．
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，f(2)-c=

1

9

-c，f（3）-c=

1

27

-c．
∴a₂=f（2）-c-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=f（3）-c-[f（2）-c]=-

2

27

．
∴

a

2 2

=a1a3，
∴(-

2

9

)2=(

1

3

-c)×(-

2

27

)，
解得c=1．
∴a₁=-

2

3

，q=

a2

a1

=

1

3

．
∴a_n=-

2

3

×(

1

3

)n-1=-2×(

1

3

)n．
（2）b_n=

3-2n

2

a_n=（2n-3）×

1

3n

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-

1

3

+

1

32

+3×

1

33

+…+

2n-3

3n

，

1

3

Tn=-

1

32

+

1

33

+…+

2n-5

3n

+

2n-3

3n+1

，
∴

2

3

Tn=-

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-3

3n+1

=-1+

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n-3

3n+1

=-

1

3n

-

2n-3

3n+1

，
∴T_n=

-n

3n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．