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如图,椭圆=1的两焦点F1,F2与短轴两端点B1,B2构成∠B2F1B1为120°,面积为的菱形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆相交于M,N两点(M,N不是左右顶点),且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】分析:(Ⅰ)由已知∠B2F1B1为=120°,及菱形F1B1F2B2的面积可得,从而可求b,c,再由a=可求,可求椭圆方程
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由 整理,结合方程的根与系数的关系可得,x1+x2=,x1•x2=,且△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,而以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A可得即x1x2+y1y2=0,代入可得m,k之间的关系,代入直线方程可知直线所过的定点
解答:解:(Ⅰ)∵∠B2F1B1为=120°
∴∠B1F1O=60°

∵菱形F1B1F2B2的面积
bc=
即   

由a==2
故椭圆方程为
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
则x1+x2=,x1•x2=
且△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0
∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A
∴AM⊥AN即
∴x1x2+y1y2=0,即y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
又y1y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
+++4=0,
化简得,7m2+4k2+16mk=0
解得m=-2k或m=-且均满足3+4k2-m2>0
当m=-2k时,L:y=k(x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;
当m=-时,L;y=k(x-),直线过定点
综上,直线l过定点,定点坐标为(
点评:本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程,直线与椭圆的相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,利用直线的点斜式求解直线所过的定点,属于直线与曲线的综合性试题
练习册系列答案
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精英家教网如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
y2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足
PA
AB
=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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如图,在直角坐标系中,已知椭圆的离心率e=,左右两个焦分别为.过右焦点且与轴垂直的

直线与椭圆相交M、N两点,且|MN|=1.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足

)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

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如图,在直角坐标系中,已知椭圆的离心率e=,左右两个焦分别为.过右焦点且与轴垂直的

直线与椭圆相交M、N两点,且|MN|=1.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足

)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,椭圆C 的离心率,左焦

点为右焦点为,短轴两个端点为.与轴不垂直的直线

椭圆C交于不同的两点,记直线的斜率分别为,且
(1)求椭圆 的方程;
(2)求证直线 与轴相交于定点,并求出定点坐标.

(3)当弦 的中点落在内(包括边界)时,求直线的斜率的取值。

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省湛江二中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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