Question

（理）已知f(x)=x+

m

x

(m∈R)，
（1）若m≤2，求函数g(x)=f(x)-lnx在区间[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函数y=log

1

2

[f(x)+2]在区间[1，+∞]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据m≤2，可分类讨论：若m≤-

1

4

时，g′(x)≥0，g(x)是[

1

2

，2]上的增函数，所以g(x)min=g(

1

2

)；若-

1

4

≤m≤2时，由g'（x）=0，得 x1=

1

2

-

m+ 1 4

＜

1

2

，x2=

1

2

+

m+ 1 4

∈[

1

2

，2]
从而可知g（x）_min=g（x₂），故可求；
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法及函数的单调性可求实数m的取值范围．

解答：（理）解：（1）g(x)=x+

m

x

-lnx，则g′(x)=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

①若m≤-

1

4

时，g′(x)≥0，g(x)是[

1

2

，2]上的增函数，
所以g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2…（3分）
②若-

1

4

≤m≤2时，由g'（x）=0
得到 x1=

1

2

-

m+ 1 4

＜

1

2

，x2=

1

2

+

m+ 1 4

∈[

1

2

，2]
且x∈[

1

2

，x2]时，g′(x)≤0，x∈[x2，2]时，g'（x）≥0，
所以g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)；  
 …（6分）
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，f′(x)=1-

m

x2

≥0?m≤x2在区间上恒成立，得到m≤1，…（9分）f（x）+2≥0在区间上恒成立，得到f（1）+2＞0，即m＞-3，
所以实数m的取值范围是：（-3，1]…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查利用导数求函数的最值，考查函数的单调性，有一定的综合性．