Question

12．若二项式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N₊）的展开式中含有x³的项，则n的最小值是6．

Answer 1

分析 根据二项式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ展开式的通项公式，令展开式含x项的指数为3，求出r与n的关系，再求满足条件的最小正整数即可．

解答 解：二项式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N₊）展开式的通项公式为：
T_r+1=C_n^r•（2x⁴）^n-r•${（-\frac{1}{{x}^{3}}）}^{r}$=（-1）^r•2^n-r•C_n^r•x^4n-7r；
令4n-7r=3，
即7r=4n-3，
解得r=$\frac{4n-3}{7}$，
所以4n-3是7的倍数；
所以满足条件的最小正整数是6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查二项式定理的应用问题．解题的关键是利用展开式中x的指数等于3，求出r和n的关系．是基础题目．