Question

20．设点P在△ABC内，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，△ABP的面积为20，则△PBC的面积为40．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$便可得到$\frac{2}{5}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）=\frac{1}{5}\overrightarrow{CP}$，可取AB中点D，并连接PD，从而可得到$\overrightarrow{CP}=4\overrightarrow{PD}$，这说明C，P，D三点共线，且有$PD=\frac{1}{5}CD$，从而得出S_△ABC=100，S_△BCD=50，而${S}_{△PBC}=\frac{4}{5}{S}_{△BCD}$，从而便可求出△PBC的面积．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）+\frac{1}{5}（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}）$；
∴$\frac{2}{5}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）=\frac{1}{5}\overrightarrow{CP}$；
如图，取AB中点D，连接PD，则$\overrightarrow{CP}=4\overrightarrow{PD}$；
∴C，P，D三点共线，且$PD=\frac{1}{5}CD$；
∴S_△ABC=5S_△ABP=100；
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=50$，${S}_{△PBC}=\frac{4}{5}{S}_{△BCD}=40$．
故答案为：40．

点评 考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，三角形的面积公式．