Question

15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{a}{sinB}=\frac{b}{sinC}=\frac{c}{sinA}$，三角形ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得b²=ac，c²=ab，a²=bc，利用余弦定理可得cosA≥$\frac{1}{2}$，可得：A∈（0，$\frac{π}{3}$]，同理可得B∈（0，$\frac{π}{3}$]，C∈（0，$\frac{π}{3}$]，结合三角形内角和定理即可得解三角形的形状．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
又$\frac{a}{sinB}=\frac{b}{sinC}=\frac{c}{sinA}$，可得：$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$，
可得：b²=ac，c²=ab，a²=bc，
所以：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc-bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，（当且仅当b=c时等号成立），可得：A∈（0，$\frac{π}{3}$]，
同理可得：cosB$≥\frac{1}{2}$，（当且仅当a=c时等号成立），可得：B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
cosC$≥\frac{1}{2}$，（当且仅当a=b时等号成立），可得：C∈（0，$\frac{π}{3}$]，
又A+B+C=π，可得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故三角形ABC的形状是等边三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．