Question

10．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），C（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），代入椭圆方程，可得a²=3b²，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值．

解答 解：由正方形和椭圆的对称性可得，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由B（a，0），OABC为正方形，可得
A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），C（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
将A的坐标代入椭圆方程可得
$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
即有a²=3b²，
c²=a²-b²=$\frac{2}{3}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质：对称性，考查点满足椭圆方程，以及计算能力，属于中档题．