Question

20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y²=4x的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点Q（0，1）满足QF⊥QP，则C的离心率为$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案．

解答 解：如图，

由抛物线E：y²=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），
又Q（0，1）且QF⊥QP，
∴QP所在直线斜率为1，则QP所在直线方程为y=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得P（1，2），
则2a=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-2）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}+2$，
∴a=$\sqrt{2}+1$，
则e=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$．
故答案为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了抛物线方程的应用，考查椭圆的定义，是中档题．