Question

1．已知数阵：
（1）数阵第i行j列的项为a_i，j，求{a_n，n}的通项公式，并指出2016是第几行第几列的项；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n，n}}$，证明：数列{b_n}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过观察数列可知a_n，n=1+2+…n，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （1）解：由题意，a_n，n=1+2+…n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{63（63+1）}{2}$=2016，
∴a_63，63=2016，即2016是第63行第63列的项；
（2）证明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n，n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．