Question

17．已知双曲线mx²+ny²=1（mn＜0）的一条渐近线方程为y=2x，此双曲线上的点（x₀，y₀）满足${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 运用双曲线的渐近线方程，可得m=-4n，由条件${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，可得n＞0，将双曲线的方程化为标准方程，求得a，c，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：双曲线mx²+ny²=1（mn＜0）的渐近线方程为
mx²+ny²=0（mn＜0），
由渐近线方程为y=2x，可得m=-4n，
双曲线上的点（x₀，y₀）满足${y}_{0}^{2}$＞4${x}_{0}^{2}$，
即有ny₀²-4nx₀²=1，即为${y}_{0}^{2}$=4${x}_{0}^{2}$+$\frac{1}{n}$＞4${x}_{0}^{2}$，
即有n＞0，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4n}}$=1，
可得a=$\sqrt{\frac{1}{n}}$，c=$\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{4n}}$=$\sqrt{\frac{5}{4n}}$，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，注意由条件判断n＞0，是解题的关键．