Question

12．求证：$\frac{sin（α+β）sin（α-β）}{s{in}^{2}αco{s}^{2}β}$=1-$\frac{ta{n}^{2}β}{ta{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 由和差角的三角函数公式和同角三角函数基本关系，由左向右证明即可．

解答 证明：左边=$\frac{sin（α+β）sin（α-β）}{s{in}^{2}αco{s}^{2}β}$
=$\frac{（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）}{si{n}^{2}αco{s}^{2}β}$
=$\frac{si{n}^{2}αco{s}^{2}β-co{s}^{2}αsi{n}^{2}β}{si{n}^{2}αco{s}^{2}β}$
=1-$\frac{co{s}^{2}αsi{n}^{2}β}{si{n}^{2}αco{s}^{2}β}$
=1-$\frac{ta{n}^{2}β}{ta{n}^{2}α}$=右边，
故等式成立．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，涉及和差角的三角函数公式和同角三角函数基本关系，属中档题．