Question

3．设函数f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈R．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求f（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈R，由此能求出函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知得到f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}sin\frac{5π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出f（x₁+x₂）的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）
=sinx+sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$
=sinx+$\frac{1}{2}sinx$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx
=$\frac{3}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
∴函数f（x）的单调递增区间满足：
$-\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}+2kπ$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}+2kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），x₁，x₂∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴${x}_{1}+\frac{π}{6}，{x}_{2}+\frac{π}{6}∈[0，π]$，
f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），
∴$\sqrt{3}sin（{x}_{1}+\frac{π}{6}）=\sqrt{3}sin（{x}_{2}+\frac{π}{6}）$，
∴${x}_{1}+\frac{π}{6}+{x}_{2}+\frac{π}{6}=π$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2π}{3}$，
f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}sin\frac{5π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的单调递增区间的求法，考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．