Question

11．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{CM}$=2$\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． -$\frac{11}{3}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 可作出图形，根据$\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$便可得到$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，根据条件$∠A=\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3进行数量积的运算便可求出$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$的值，从而得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$；
∴$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=2（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}）$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1}{3}×2×3×\frac{1}{2}-\frac{2}{3}×{2}^{2}+\frac{1}{3}×{3}^{2}$
=$\frac{4}{3}$．
故选：C．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及其计算公式．