Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，（n∈N^*）．
证明：当n≥2时，a${\;}_{n}^{2}$=a_n+1-a_n+1．

Answer 1

分析 易知a_n＞0恒成立；从而做商法化简得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，从而证明．

解答 证明：∵a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
∴a₂=2，a₃=5，…；
∴a_n＞0恒成立；
当n≥2时，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，
两式作商可得，
$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，
故a_n+1+1=a${\;}_{n}^{2}$+a_n，
即a${\;}_{n}^{2}$=a_n+1-a_n+1．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了学生化简运算的能力．