Question

18．已知过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线1与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线1恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• C． y=±2x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到弦长，由渐近线方程即可得到所求．

解答 解：由|AB|=4a的直线1恰好有3条，
由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，
另两条关于x轴对称，
令x=c，代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得
y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有此时|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4a，
即为b=$\sqrt{2}$a，
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{2}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的对称性，考查运算能力，属于中档题．