Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A₁，上顶点为B₂、右焦点为F₂，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△A₁B₂F₂的面积为$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线1：y=k（x-$\sqrt{2}$），k≠0与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点M，A与C关于y轴对称，直线BC与y轴交于点N．求证：|0M|•|0N|为定值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，及三角形的面积公式可得$\frac{1}{2}$b（c+a）=1+$\sqrt{2}$，解方程可得a，b的值，即可得到椭圆方程；
（2）由y=k（x-$\sqrt{2}$），可得M（0，-$\sqrt{2}$k），联立直线方程和椭圆方程，解方程可得A，B的坐标，由对称可得C的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，化简可得-$\sqrt{2}$nk=2，即可得到定值2．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
由△A₁B₂F₂的面积为$\sqrt{2}$+1，可得$\frac{1}{2}$b（c+a）=1+$\sqrt{2}$，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）证明：由y=k（x-$\sqrt{2}$），可得M（0，-$\sqrt{2}$k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4$\sqrt{2}$k²x+4k²-4=0，
解得x=$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}±2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
可设A（$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
B（$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
N（0，n），
由A与C关于y轴对称，可得C（-$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
由B，C，N共线 可得k_BC=k_BN，
即有$\frac{4k\sqrt{1+{k}^{2}}}{4\sqrt{2}{k}^{2}}$=$\frac{2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k-n（1+2{k}^{2}）}{2\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
化简可得-$\sqrt{2}$nk=2，
即有|OM|•|ON|=|$\sqrt{2}$nk|=2．
可得|0M|•|0N|为定值2．

点评 本题是一道直线与椭圆的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．