Question

17．求满足下列条件的圆的方程：
（1）圆心在原点，半径为6；
（2）经过三点A（1，1），B（-6，3），C（3，0）；
（3）过两点（-1，3）和（6，-1），并且圆心在直线x+2y=0上；
（4）以点C（-1，-5）为圆心，并且和y轴相切．

Answer 1

分析 （1）利用圆心和半径，能求出圆的标准方程．
（2）设所求的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法能求出圆的方程．
（3）设圆心坐标为（a，b），利用两点间距离公式和圆心在直线上，列出方程组，能求出圆心坐标，从而能求出圆的方程．
（4）由点C（-1，-5）到y轴的距离为1，得到圆半径r=1，由此能求出圆的方程．

解答 解：（1）圆心在原点，半径为6的圆的标准方程为：x²+y²=36．
（2）设所求的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆过三点A（1，1），B（-6，3），C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+1+D+E+F=0}\\{36+9-6D+3E+F=0}\\{9+3D+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=19，E=45，F=-66，
∴所求圆的方程为x²+y²+19x+45y-66=0．
（3）设圆心坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a+1）^{2}+（b-3）^{2}}=\sqrt{（a-6）^{2}+（b+1）^{2}}}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=-$\frac{3}{4}$，
∴$r=\sqrt{（\frac{3}{2}+1）^{2}+（-\frac{3}{4}-3）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，
∴所求圆的方程为$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y+\frac{3}{4}）^{2}=\frac{325}{16}$．
（4）∵点C（-1，-5）到y轴的距离为1，
∴圆半径r=1，
∴所求圆的方程为（x+1）²+（y+5）²=1．

点评 本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、待定系数法、两点间距离公式的合理运用．