Question

5．在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了A、B、C三个观测点．已知B在A的正西方向4a米处，C在A的正南方向a米处，实验中，在B，C两点听到导弹着地时的爆炸声比在A点分别晚2秒和1秒，且声速v=a米/秒，则此导弹爆炸点离A点的 距离为（　　）

• A． a米
• B． 2a米
• C． 3a米
• D． 4a米

Answer 1

分析 以A，B所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，可得A（2a，0），B（-2a，0），C（2a，-a），由题意可得|MB|-|MA|=2a＜4a，运用双曲线的定义可得M的轨迹为右支，求得方程；再由|MC|-|MA|=a，可得M的轨迹为以A为端点的射线AM．求得方程为x=2a，（y＞0），计算即可得到所求距离．

解答 解：以A，B所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，
可得A（2a，0），B（-2a，0），C（2a，-a），
由题意可得|MB|-|MA|=2a＜4a，
由双曲线的定义可得，M的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支上一点．
可得双曲线的虚轴长为2$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1①
又|MC|-|MA|=a，可得M的轨迹为以A为端点的射线AM．
方程为x=2a，（y＞0），②
将②代入①可得，y=3a．
即有导弹爆炸点离A点的距离为3a．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义和性质及应用，运用双曲线的定义是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．