Question

9．已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP•OP′=9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 由已知互相垂直的两条直线，以它建立直角坐标系，求出直线BP与B′P′的方程，找出交点M的M坐标，消掉字母即可得交点M的M轨迹方程．

解答 解：以O为原点，BB′为yy轴，l为xxx轴建立如图所示直角坐标系，则B（0，2），B′（0，-2），
设P（a，0），a≠0，则由OP•OP′=9，得P′（$\frac{9}{a}$，0），
直线BP的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{2}=1$，即2x+ay-2a=0，
直线B′P′的方程为$\frac{x}{\frac{9}{a}}+\frac{y}{-2}=1$，即2ax-9y-18=0．
设M（x，y），联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+ay-2a=0}\\{2ax-9y-18=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18a}{{a}^{2}+9}}\\{y=\frac{2{a}^{2}-18}{{a}^{2}+9}}\end{array}\right.$，
消去a，可得4x²+9y²=36（x≠0）．
∴点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去点B、B′）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查取的参数方程，联立方程组求解是关键，属中档题．