Question

4．已知函数y=2cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x，求：
（1）周期；（2）值域；（3）单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角和的正弦函数公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据函数的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．
（3）利用正弦函数的单调性可得2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得函数的单调递减区间．

解答 解：y=2cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x，
=-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x
=-sin（2x-$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
（1）ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得-2≤y≤2，
故函数的值域是[-2，2]；
（3）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
故函数的递减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查了二倍角公式和两角差的正弦函数公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．