Question

16．数列{a_n}的通项公式a_n=n²•2ⁿ，求S_n．

Answer 1

分析 利用错位相减法求即可求出前n项和．

解答 解：a_n=n²•2ⁿ，
∴S_n=1×2+4×2²+9×2³+…+n²•2ⁿ，
2S_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…+（n-1）²•2ⁿ+n²•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=1×2+3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+7×2⁵+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹-n²•2ⁿ⁺²，
∴S_n=2+2×2²+2×2³+2×2⁴+2×2⁵+…+2•2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹+n²•2ⁿ⁺²，
∴S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+…+2ⁿ⁺¹-n²•2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹+n²•2ⁿ⁺²-4，
=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-n²•2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹+n²•2ⁿ⁺²-4，
=2ⁿ⁺²-n²•2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹+n²•2ⁿ⁺²-6，
=2ⁿ⁺¹（ n²-2n+3）-6．

点评 本题考查了错位相减法求前n项和，关键是转化的思想，运算能力，属于中档题．