Question

7．已知动点P与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-$\frac{1}{9}$．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理和基本不等式，求出椭圆中的a，b的值即可得到轨迹方程；
（2）设N（s，t），M（x，y），利用$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，求出坐标之间的关系，根据M，N在动点P的轨迹C上，消去一个参数，即可求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
设|PF₁|+|PF₂|=2t（常数t＞0），2t＞2c=2$\sqrt{5}$，
∴a＞$\sqrt{5}$，P的轨迹为椭圆．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2mn}$
=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-20}{2mn}$=$\frac{2{t}^{2}-10}{mn}$-1，
∵mn≤（ $\frac{m+n}{2}$）²=t²，
∴当且仅当m=n时，mn取得最大值t²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值$\frac{2{t}^{2}-10}{{t}^{2}}$-1，
由题意$\frac{2{t}^{2}-10}{{t}^{2}}$-1=-$\frac{1}{9}$，
解得t²=9，
故椭圆的长轴长为6，短轴长为4，
∴P点的轨迹方程为 $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设N（s，t），M（x，y），
∵$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，
∴（x，y-3）=λ（s，t-3），
∴x=λs，y=3+λ（t-3），
∵M，N在动点P的轨迹C上，
∴$\frac{{s}^{2}}{9}$+$\frac{{t}^{2}}{4}$=1，$\frac{（λs）^{2}}{9}$+$\frac{（λt+3-3λ）^{2}}{4}$=1，
消去s可得$\frac{（λt+3-3λ）^{2}-{λ}^{2}{t}^{2}}{4}$=1-λ²，
解得t=$\frac{13λ-5}{6λ}$，
∵|t|≤2，
∴|$\frac{13λ-5}{6λ}$|≤2，
解得$\frac{1}{5}$≤λ≤5．
∴实数λ的取值范围为[$\frac{1}{5}$，5]．

点评 本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查椭圆的定义与椭圆的标准方程，考查余弦定理与基本不等式求最值．本题是圆锥曲线与基本不等式知识的一个综合题，知识覆盖面较广．