Question

13．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁＞1，前n项之积为T_n，设T₁₀=T₂₀，
（1）当n为何值时，T_n最大？
（2）是否存在自然数m，使得T_m=1？

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，且a₁＞1，由T₁₀=T₂₀，可得a₁₁a₁₂•…•a₂₀=1，可得：${a}_{1}^{2}{q}^{19}$=1．于是T_n=${a}_{1}^{n}$•q^{1+2+…+（n-1）}=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$．利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由T_n=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$，可知：当n=20时，T₂₀=1．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，且a₁＞1，∵T₁₀=T₂₀，
∴a₁₁a₁₂•…•a₂₀=1，
∴${a}_{1}^{10}$q^10+11+…+19=${a}_{1}^{10}$q¹⁴⁵=1，
∴${a}_{1}^{2}{q}^{19}$=1．
∴T_n=${a}_{1}^{n}$•q^{1+2+…+（n-1）}=${a}_{1}^{n}{q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$．
可知：当n=10时，指数$\frac{n（20-n）}{19}$取得最大值$\frac{100}{19}$，
∴当n=10时，T_n最大．
（2）由T_n=${{a}_{1}}^{\frac{n（20-n）}{19}}$，可知：当n=20时，T₂₀=1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、指数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．