Question

4．设等比数列{a_n}的公比q＜1，前n项和为S_n，且α₃=2，S₄=5S₂，则S_n=$\frac{1-（-2）^{n}}{6}$．

Answer 1

分析 由题意和等比数列的通项公式和求和公式可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式可得．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比q＜1，前n项和为S_n，且α₃=2，S₄=5S₂，
∴α₃=a₁q²=2，S₄=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5S₂=5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，
联立解得a₁=$\frac{1}{2}$，q=-2，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=$\frac{1-（-2）^{n}}{6}$，
故答案为：$\frac{1-（-2）^{n}}{6}$．

点评 本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．