Question

16．若A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，则A=（　　）

• A． arcsin$\frac{4}{5}$
• B． arcsin（-$\frac{4}{5}$）
• C． $\frac{π}{2}$+arcsin$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得tanA的值，进而可求cosA，sinA，利用A的范围及sinA的值，即可计算得解．

解答 解：（1）∵A为△ABC的一个内角，cosA+sinA=$\frac{1}{5}$，平方可得1+2sinAcosA=$\frac{1}{25}$，
即sinAcosA=-$\frac{12}{25}$，∴sinA＞0，cosA＜0，|sinA|＞|cosA|，tanA＜-1．
再根据 $\frac{sinAcosA}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{tanA}{ta{n}^{2}A+1}$，求得tanA=-$\frac{4}{3}$，或tanA=-$\frac{3}{4}$（舍去）．
∴cosA=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=-$\frac{3}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∵sin（$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$）=$\frac{4}{5}$，且$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴A=$\frac{π}{2}$+arccos$\frac{4}{5}$．
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．