Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx+sinx，2cosx）$\overrightarrow{n}$=（cosx-sinx，-sinx）．
（I）求f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$的对称中心；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若α为锐角，且g（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （I）利用数量积及三角恒等变换化简f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），从而令$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）=0求对称中心；
（II）利用图象变换可得y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）$\stackrel{向右平移\frac{π}{8}个单位}{→}$y=$\sqrt{2}$cos2x$\stackrel{横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变}{→}$y=$\sqrt{2}$cosx，从而求得g（x）=$\sqrt{2}$cosx；再利用三角恒等变换求解即可．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=（cosx+sinx，2cosx）•（cosx-sinx，-sinx）
=cos²x-sin²x-2cosxsinx=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
令$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）=0得，
2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
故x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，（k∈Z）；
故f（x）的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，0）（k∈Z）；
（II）y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）$\stackrel{向右平移\frac{π}{8}个单位}{→}$y=$\sqrt{2}$cos2x$\stackrel{横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变}{→}$y=$\sqrt{2}$cosx，
故g（x）=$\sqrt{2}$cosx；
∵g（α$+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
故cos（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，又∵α为锐角，
∴sin（α$+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$；
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sin（α$+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（α$+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．

点评 本题考查了平面向量的应用及三角恒等变换的应用．