Question

4．平面内满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$的点（x，y）形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{5}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{5\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域M，求出可行域M内到直线2x+y=0距离最近的点A的坐标，利用点到直线的距离公式求得A到直线2x+y=0的距离，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
由图可知，可行域M内A点到直线2x+y=0的距离最小，为$\frac{|3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴区域M和区域M′内最近的两点的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．