Question

15．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$．已知曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，3）
（1）求实数a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k，如果不存在，请说明理由；
（3）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min（p，q）表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，求出切线的方程，代入（2，3），可得a的值；
（2）k=1时，方程f（x）=g（x）在（1，2）内存在唯一的根．设$h（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，运用零点存在定理，可得存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0．求出h（x）的导数，运用单调性即可判断存在；
（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）内存在唯一的根x₀，求得m（x）的解析式m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$，分段讨论，运用单调性，可得最大值．

解答 解：（1）f（x）的导数为$f'（x）=lnx+\frac{a}{x}+1$，
可得f'（1）=1+a，又f（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=（1+a）（x-1），
把点（2，3）代入得：1+a=3，
解得a=2；
（2）k=1时，方程f（x）=g（x）在（1，2）内存在唯一的根．
理由：设$h（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，
当x∈（0，1]时，h（x）＜0．
又$h（2）=4ln2-\frac{8}{e^2}＞4ln\sqrt{e}-\frac{8}{4}＞0$，
所以存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0．
因为$h'（x）=lnx+\frac{2}{x}+1+\frac{2x（x-2）}{e^x}$，
所以当x∈（1，2）时，$h'（x）＞1+\frac{2x（x-2）}{e^x}＞1-\frac{2}{e}＞0$，
当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，
所以当x∈（1，+∞）时，h（x）单调递增．
所以k=1时，方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根．
（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）内存在唯一的根x₀，
且x∈（0，x₀）时，f（x）＜g（x），x∈（x₀，+∞）时，f（x）＞g（x），
所以m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$．
当x∈（0，x₀）时，若x∈（0，1]，m（x）≤0；
若x∈（1，x₀]，由$m'（x）=lnx+\frac{2}{x}+1＞0$，知m（x）在（1，x₀）递增．
所以0＜m（x）≤m（x₀）；
当x∈（x₀，+∞）时，由$m'（x）=\frac{2x（2-x）}{e^x}$，
可知x∈（x₀，2）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增；
x∈（2，+∞）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；
所以$m（x）≤m（2）=\frac{8}{e^2}$，且m（x₀）＜m（2）．
综上可得函数m（x）的最大值为$\frac{8}{e^2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．