Question

6．长度都为2的向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，点C在以O为圆心的圆弧$\widehat{AB}$（劣弧）上，$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，则m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²化简可得m²+n²+mn=1，从而由基本不等式可得（m+n）²-1=mn≤$\frac{（m+n）^{2}}{4}$，从而解得．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²，
∴4=4m²+4n²+2mn•$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
即4=4m²+4n²+2mn•2•2•cos$\frac{π}{3}$，
即m²+n²+mn=1，
故（m+n）²-1=mn≤$\frac{（m+n）^{2}}{4}$，
（当且仅当m=n时，等号成立）；
故（m+n）²≤$\frac{4}{3}$，
故m+n的最大值为$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算的应用及基本不等式的应用．