Question

19．已知A是常数，如果函数f（x）满足以下条件：①在定义域D内是单凋函数；②存在区间[m，n]⊆D，使得{y|y=f（x），m≤x≤n}=[An+3，Am+3]，则称f（x）为“反A倍增三函数”．若f（x）=$\sqrt{16-x}$-x是“反A倍增三函数”，那么A的取值范围是{A|A≠-1}．

Answer 1

分析 容易判断f（x）在定义域（-∞，16]上单调递减，可设[m，n]⊆（-∞，16]，从而可得出f（x）在[m，n]上的值域为$[\sqrt{16-n}-n，\sqrt{16-m}-m]=[An+3，Am+3]$，这样即可得出m，n是方程$\sqrt{16-x}-x=Ax+3$的两不等实根，并且m，n≤16．可将该方程整理成（1+A）²x²+（7+6A）x-7=0，从而A需满足$\left\{\begin{array}{l}{A≠-1}\\{△=（7+6A）^{2}+28（1+A）^{2}＞0}\\{-\frac{7+6A}{2（1+A）^{2}}＜16}\\{（1+A）^{2}•16+（7+6A）•16-7≥0}\end{array}\right.$，这样解该不等式组便可得出A的取值范围．

解答 解：x增大时，-x减小，∴$\sqrt{16-x}-x$减小，即f（x）减小；
∴f（x）在（-∞，16]上单调递减；
设[m，n]⊆（-∞，16]，则f（x）在[m，n]上的值域为$[\sqrt{16-n}-n，\sqrt{16-m}-m]=[An+3，Am+3]$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{16-n}-n=An+3}\\{\sqrt{16-m}-m=Am+3}\end{array}\right.$；
∴m，n为方程$\sqrt{16-x}-x=Ax+3$的两个不同实数根，且m，n≤16；
该方程整理得：（1+A）²x²+（7+6A）x-7=0，方程有两个不同的不超过16的实根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{A≠-1}&{①}\\{△=（7+6A）^{2}+28（1+A）^{2}＞0}&{②}\\{-\frac{7+6A}{2（1+A）^{2}}＜16}&{③}\\{（1+A）^{2}•1{6}^{2}+（7+6A）•16-7≥0}&{④}\end{array}\right.$；
不等式②显然恒成立；
不等式③变成：32A²+70A+39＞0，且A≠-1⑤；
∵△=70²-4×32×39=-92＜0；
∴不等式⑤恒成立，即不等式③对任意A≠-1恒成立；
不等式④变成：256A²+608A+361≥0；
∵△=608²-4×256×361=0；
∴不等式④对任意A∈R恒成立；
∴综上得，A≠-1；
∴A的取值范围是{A|A≠-1}．
故答案为：{A|A≠-1}．

点评 考查根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的值域的方法，理解“反A倍增3函数”的概念，构造方程解决问题的方法，要熟悉二次函数的图象，一元二次方程实根的情况和判别式的关系，以及一元二次不等式的解和判别式△的关系．