Question

4．为了安全起见，高速公路同一车道上行驶的前后两辆汽车之间的距离不得小于kx²（单位：m）其中x（单位：km/h）是车速，k为比例系数，经测定，当车速为60km/h时，安全车距为40m，假设每辆车的平均车长为5m．
（1）写出在安全许可的情况下，某路口同一车道的车流量y（单位：辆/min）关于车速x的函数；
（2）如果只考虑车流量，规定怎样的车速可以使得高速公路上的车流量最大？这种规定可行吗？

Answer 1

分析 （1）先求出下一辆车通过路口用时（kx²+5）/x小时，可得一小时通过的车辆为$\frac{x}{k{x}^{2}+5}$辆，除以60即为每分钟的流量y，
（2）．对式子进行变形，利用均值定理求出最值，得出此时x的值，进行判断即可．

解答 解：（1）从前一辆车通过开始，下一辆车通过路口用时（kx²+5）/x小时，
由k×60²=45，得k=45/3600．
y=$\frac{x}{k{x}^{2}+5}$×$\frac{1}{60}$；
（2）．y=$\frac{1}{\frac{45x}{3600}+\frac{5}{x}}$×$\frac{1}{60}$≤$\frac{1}{30}$，
此时$\frac{45x}{3600}$=$\frac{5}{x}$，x=20 km/h，显然不可行，20 km/h的速度，没有达到高速公路提速的目的．

点评 考查了对应用问题的理解和模型的应用，关键是把实际问题数学符号化，再利用数学知识解决实际问题．