Question

12．已知函数f（x）=x²-x+lnx的图象在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y=g（x），若不等式$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0对任意x∈（0，x₀）∪（x₀，+∞）恒成立，则x₀=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），得到g（x）的表达式，代入f（x）-g（x），求其导函数，利用0＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上m′（x）＜0，m（x）在此区间上单调递增，当x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上m′（x）＜0，mφ（x）在此区间上单调递减，可得x₀的值．

解答 解：f（x）=x²-x+lnx的导数为f′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$，
由函数f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），
则g（x）-（x₀²-x₀+lnx₀）=（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
即g（x）=（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，
令m（x）=f（x）-g（x）=x²-x+lnx-（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀）-x₀²+x₀-lnx₀．
则m（x₀）=0．
m′（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$-（2x₀-1+$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{2}{x}$（x-x₀）（x-$\frac{1}{2{x}_{0}}$），
若0＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，m（x）在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上m′（x）＜0，m（x）在此区间上单调递减，
当x∈（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）时，m（x）＜m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0不合题意；
若x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，m（x）在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上m′（x）＜0，m（x）在此区间上单调递减，
当x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）时，m（x）＞m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0不合题意；
当x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，m′（x）=$\frac{2}{x}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²≥0，m（x）在（0，+∞）递增，
当x＞x₀时，m（x）＞m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0；
当x＜x₀时，m（x）＜m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0，成立．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，正确理解导数的几何意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键，是中档题．