Question

16．设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-4e²只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，另一回事的极值为0，求解a，然后验证即可．
（Ⅱ）解法1：方程f（x）=4e²只有一个根，转化为曲线f（x）与直线y=4e²只有一个公共点．设$h（x）=2lnx+1-\frac{a}{x}$，通过①当a≤0时，②当0＜a≤1时，③当a＞1时，判断函数的单调性，求出极大值，转化为$f（{x_0}）＜4{e^2}$，即${（{x_0}-a）^2}ln{x_0}＜4{e^2}$，
所以${x_0}^2{ln^3}{x_0}＜{e^2}$，然后推出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
$f'（x）=（x-a）（2lnx+1-\frac{a}{x}）$，----------------（2分）
由x=e是f（x）的极值点，得$f'（e）=（{e-a}）（{3-\frac{a}{e}}）=0$，解得a=e或a=3e，---------（3分）
经检验，符合题意，所以a=e或a=3e；-----------------------（4分）
（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e²只有一个根，
即曲线f（x）与直线y=4e²只有一个公共点．
易知f（x）∈（-∞，+∞），设$h（x）=2lnx+1-\frac{a}{x}$，-----------------（5分）
①当a≤0时，易知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，满足题意；-------------（6分）
②当0＜a≤1时，易知h（x）是单调递增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1-a≥0，
∴?x₀∈（a，1），h（x₀）=0，
当0＜x＜a时，$f'（x）=（x-a）（2lnx+1-\frac{a}{x}）$＞0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，
同理f（x）在（a，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
又极大值f（a）=0，所以曲线f（x） 满足题意；-----------------------（8分）
③当a＞1时，h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0，
∴?x₀∈（1，a），h（x₀）=0，即$2ln{x_0}+1-\frac{a}{x_0}=0$，得a-x₀=2x₀lnx₀，
可得f（x） 在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
又f（a）=0，若要曲线f（x） 满足题意，只需$f（{x_0}）＜4{e^2}$，即${（{x_0}-a）^2}ln{x_0}＜4{e^2}$，
所以${x_0}^2{ln^3}{x_0}＜{e^2}$，由x₀＞1知g（x）=x²ln³x＞0，且在[1，+∞）上单调递增，
由g（e）=e²，得1＜x₀＜e，因为a=x₀+2x₀lnx₀在[1，+∞）上单调递增，
所以1＜a＜3e；------------------------------------（11分）
综上知，a∈（-∞，3e）．------------------------------------（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及分类讨论思想的应用，难度比较大．