Question

15．如图，D为△ABC内一点，并且满足AB=CD=4，∠A+∠BDC=180°，试确定S_△ABC-S_△BDC的最大值．

Answer 1

分析 由已知及三角形面积公式可得S_△ABC-S_△BDC=2sinA（AC-BD），又由余弦定理整理可得：AC-BD=8cosA，可求S_△ABC-S_△BDC=8sin2A，结合范围A∈（0，$\frac{π}{2}$），利用正弦函数的图象和性质即可解得S_△ABC-S_△BDC的最大值为8．

解答 解：∵AB=CD=4，∠A+∠BDC=180°，可得∠A为锐角，
∴S_△ABC-S_△BDC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinA$-$\frac{1}{2}BD•DC•sin∠BDC$=2sinA（AC-BD），
又∵由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2•AB•AC•cosA=BD²+DC²-2BD•DC•cos∠BDC，可得：16+AC²-8ACcosA=16+BD²-8BDcos∠BDC，
∴整理可得：AC-BD=8cosA，
∴S_△ABC-S_△BDC=2sinA（AC-BD）=8sin2A，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），sin2A∈（0，1]，
∴S_△ABC-S_△BDC=8sin2A≤8，从而可得S_△ABC-S_△BDC的最大值为8．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．