Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且满足3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化简可知a_n=2a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2），
∴3a_n+4a_n-1=5a_n，即a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
于是其通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
则T_n=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．