Question

11．已知曲线f（x）=ke^-x在点x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，若x₁，x₂是函数g（x）=f（x）-|lnx|的两个零点，则（　　）

• A． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜1
• C． $\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1
• D． e＜x₁x₂＜e²

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=2e^-x，作出y=|lnx|和y=2e^-x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x₁，x₂且|lnx₁|＞|lnx₂|，再结合零点存在定理，可得结论．

解答 解：f（x）=ke^-x在的导数为f′（x）=-ke^-x，
在点x=0处的切线斜率为k=-k，
由切线与直线x-2y-1=0垂直，可得-k=-2，
解得k=2，则f（x）=2e^-x，
令g（x）=0，则|lnx|=2e^-x，
作出y=|lnx|和y=2e^-x的图象，
可知恰有两个交点，
设零点为x₁，x₂且|lnx₁|＞|lnx₂|，0＜x₁＜1，x₂＞1，
故有$\frac{1}{{x}_{1}}$＞x₂，即x₁x₂＜1．
又g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=2${e}^{-\frac{1}{{e}^{2}}}$-2＜0，g（$\frac{1}{e}$）=2${e}^{-\frac{1}{e}}$-1＞0，
可得$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁＜$\frac{1}{e}$，
即x₁x₂＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即有$\frac{1}{{e}^{2}}$＜x₁x₂＜1．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数图象是关键．