Question

7．已知α，β是锐角，α+β≠$\frac{π}{2}$，且满足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求证：tan（α+β）=2tanα；
（2）求证：tanβ$≤\frac{\sqrt{2}}{4}$，并求等号成立时tanα与tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）把条件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要证明的结论中的角表示为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用两角和与差的正弦公式展开，整理即可证明结论；
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}=\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}=\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值时tanα的值．

解答 证明：（1）由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∵α、β是锐角，α+β≠$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{sin（α+β）cosα}{cos（α+β）cosα}=\frac{2cos（α+β）sinα}{cos（α+β）cosα}$，得tan（α+β）=2tanα；
（2）∵tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}=\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}=\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，
又∵α是锐角，
∴$\frac{1}{tanα}+2tanα$≥2$\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{1}{tanα}$=2tanα时取等号，
此时tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故tanβ≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴当tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时等号成立．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，在三角恒等式的证明中，一般都是把已知条件与所证结论相结合，即要看条件，又要分析条件和结论之间的关系，是中档题．