Question

2．已知{a_n}（n=1，2，3，…）是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（1）若{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（2）设d是非负整数，证明：d_n=-d的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列．

Answer 1

分析 （1）由a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，可知数列{a_n}为单调递增数列．可得A_n，B_n，d_n=A_n-B_n．
（2）充分性：设{a_n}是公差为d的等差数列，d是非负整数．则A_n=a_n，B_n=a_n+1，即可得出．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一个不减的数列．即可证明．

解答 （1）解：∵a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，可知数列{a_n}为单调递增数列．
∴当n=1时，A₁=a₁=3；B₁=a₂=3²-1=8，d₁=A₁-B₁=3-8=-5．
当n=2时，A₂=a₂=8；B₂=a₃=3³-1=26，d₂=A₂-B₂=8-26=-18．
当n=3时，A₃=a₃=26；B₃=a₄=3⁴-1=80，d₃=A₃-B₃=26-80=-54．
（2）证明：充分性：设{a_n}是公差为d的等差数列，d是非负整数．
则A_n=a_n，B_n=a_n+1，∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，
则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一个不减的数列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，故{a_n}是公差为d的等差数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义、反证法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．