Question

13．如图所示，用一棱长为a的正方体，制作一以各面中心为顶点的正八面体．求：
（1）此正八面体的表面积S；
（2）此正八面体的体积V．

Answer 1

分析 （1）求出八面体的棱长，然后求解表面积即可．
（2）八面体分成两个正四棱锥，两个底面面积，然后求出体积即可．

解答 解：（1）正方体的棱长为a，将正方体的六个面的中心连接起来，构成一个八面体，八面体的棱长为：$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，八面体的表面积为：8×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}$=$\sqrt{3}$a²．
（2）八面体分成两个正四棱锥，底面面积为：$\frac{1}{2}$a²，高为$\frac{1}{2}$a，一个正四棱锥的体积为：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×$\frac{1}{2}$a
所以这个八面体的体积是：2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a2×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{6}$a³．

点评 本题考查棱锥的体积和表面积的求法，正方体的内接体的知识，解题关键在八面体转化为两个正四棱锥，是常考题型．